子供を連れて「遅れてすみません」と言ってくるので、それ以上何も言えません

子供の前では、督促の話はできませんよね。家主さんが結局何も言えない気持ち、よく分かります。
おそらく賃借人は、子供を前にしたら家主さんが督促できないことを知っているのでしょう。ここは気持ちを切り替えて、きちんと督促しなければなりません。
「お家で待っていてくれる?」とお子さんを戻すか、「色々とお聞きしたいこともあるので、今度はお一人で来ていただけますか?」と、具体的に子供を督促の場に同席させないように言って見ましょう。
滞納額を溜めさせてしまうことも、ある意味、借金を積み重ねさせることでもあるので、いいことは何もありません。家賃滞納は借金と同じです。きちんと督促をして、支払えないようなら生活レベルを下げることを促すことが大切です。
「子供がいるから……」という理由で督促できないのは、長い目で考えれば良いことではありません。